コンパクトシリーズ数学 複素関数

まえがき より

大学で理工系を選ぶみなさんは、おそらく高校の時は数学が得意だったのではないでしょうか。本シリーズは高校の時には数学が得意だったけれども大学で不得意になってしまった方々を主な読者と想定し、数学を再度得意になっていただくことを意図しています。それとともに、大学に入って分厚い教科書が並んでいるのを見て尻込みしてしまった方を対象に、今後道に迷わないように早い段階で道案内をしておきたいという意図もあります。

数学は積み重ねの学問ですので、ある部分でつまずいてしまうと先に進めなくなるという性格をもっています。そのため分厚い本を読んでいて、枝葉末節にこだわると読み終えないうちに嫌になるということが多々あります。このような時には思い切って先に進めばよいのですが、分厚い本だとまた引っかかる部分が出てきて、自分は数学に向かないとあきらめてしまうことになりかねません。

このようなことを避けるためには、第一段階の本、あるいは読み返す本は「できるだけ薄い」のがよいと著者は考えています。そこで本シリーズは大学の２～３年次までに学ぶ数学のテーマを扱いながらも重要な部分を抜き出し、一冊については本文は70～90 頁程度（Appendix や問題解答を含めてもせいぜい100 ～ 120 頁程度）になるように配慮しています。

なお、本シリーズは性格上、あくまで導入を目的としたものであるため、今後、数学を道具として使う可能性がある場合には、本書を読まれたあともう一度、きちんと書かれた数学書を読んでいただきたいと思います。

目次

Chapter 1 複素数の関数

1. 複素数
2. 複素数の数列と級数
3. 複素変数の関数

Chapter 2 正則関数

1. 複素関数の微分
2. コーシー・リーマンの方程式
3. 初等関数

Chapter 3 コーシーの積分定理

1. 積分
2. コーシーの積分定理
3. 不定積分
4. コーシーの積分公式

Chapter 4 関数の展開

1. べき級数
2. テイラー展開
3. ローラン展開と特異点の分類

Chapter 5 留数定理とその応用

1. 留数定理
2. 実関数の定積分

Appendix A ２次元ポテンシャル流れと関数論

Appendix B コーシーの積分定理のグルサによる証明

Appendix C 問題略解